Determinant Deep Dive
선형대수학에서 행렬식(determinant)은 정사각행렬의 중요한 특성을 나타내는 스칼라 값이다. 행렬식은 행렬이 나타내는 선형 변환의 배율 변화, 부피 변화, 방향성 등을 파악하는 데 사용된다. 또한, 행렬식은 역행렬의 존재 여부를 판단하는 데에도 중요하다.
행렬식의 정의와 성질
정사각 행렬 의 행렬식은 다음과 같이 표기한다.
det(A) 또는 |A|
행렬식은 여러 가지 방법으로 정의할 수 있지만, 가장 일반적인 방법은 라이프니츠 공식(Leibniz formula)을 사용하는 것이다.
det(A) = Σ (sgn(σ) * a_{1,σ(1)} * a_{2,σ(2)} * ... * a_{n,σ(n)})
여기서 Σ는 모든 순열(permutation) σ에 대한 합을 나타내고, sgn(σ)는 순열 σ의 부호(sign)를 나타낸다.
한편, 행렬식은 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.
- 대각 행렬(diagonal matrix)의 행렬식: 대각 행렬의 행렬식은 대각선 요소들의 곱과 같다.(삼각 행렬도 마찬가지)
- 전치 행렬(transpose matrix)의 행렬식: det(A) = det(A^T)
- 행 연산(row operation)과 행렬식:
- 두 행을 교환하면 행렬식의 부호가 바뀐다.
- 한 행에 스칼라를 곱하면 행렬식도 같은 스칼라 배가 된다.
- 한 행에 다른 행의 스칼라 배를 더해도 행렬식은 변하지 않는다.
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| 성질 예시 |
여인수 전개(Cofactor Expansion)
행렬식을 계산하는 효율적인 방법 중 하나는 여인수 전개(cofactor expansion)이다. 여인수 전개는 특정 행이나 열을 선택하여 행렬식을 계산하는 방법이다. 예를 들어, 행렬 A의 i번째 행에 대한 여인수 전개는 다음과 같다.
det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + ... + a_{in}C_{in}
여기서 는 성분의 여인수(cofactor)를 나타내며, 다음과 같이 정의된다.
C_{ij} = (-1)^{i+j} * det(M_{ij})
는 A에서 i번째 행과 j번째 열을 제거하여 얻은 부분 행렬(minor matrix)이다.
수반 행렬(Adjoint Matrix)
정사각 행렬 의 수반 행렬(adjoint matrix) adj(A)는 다음과 같이 정의된다.
adj(A) = (C_{ij})^T = (C_{ji})
여기서 는 성분의 여인수다. 수반 행렬은 행렬식과 밀접한 관련이 있으며, 다음과 같은 중요한 성질을 만족한다.
A * adj(A) = adj(A) * A = det(A) * I
여기서 는 단위 행렬(identity matrix)이다. 이 성질을 통해 행렬식이 0이 아닌 경우 역행렬을 구할 수 있다.(행렬식이 0이라면 역행렬이 존재하지 않는다)
A^{-1} = (1/det(A)) * adj(A)
마무리
이번 포스팅에서는 행렬식의 중요성과 함께 행렬식의 정의, 성질, 계산 방법, 그리고 수반 행렬에 대해 알아보았다. 행렬식은 선형대수학에서 매우 중요한 개념이므로, 이번 포스팅에서 다룬 내용들을 잘 이해하고 기억하는 것이 중요하다. 특히, 행렬식의 성질과 여인수 전개는 행렬식을 계산하는 데 유용하게 활용될 수 있으니 꼭 기억하길 바란다.
(https://hyeonb.blogspot.com/2023/02/essential%20Math.html)
