[선형대수학] Inner product space

내적 공간(Inner Product Space)

내적(Inner Product)이란?

벡터 공간에서 벡터 간의 각도와 길이에 대한 정보를 제공하는 연산이다. 두 벡터를 입력으로 받아 스칼라 값을 출력하며, 이 값을 통해 벡터 간의 유사도, 직교성 등을 판단할 수 있다.

내적의 정의와 계산 방법

일반적으로, 실수 벡터 공간 $V$ 에서 내적은 다음과 같이 정의된다.

여기서 $u = (u__{1}, u__{2}, \dots, u__{n})$ 과 $v = (v__{1}, v__{2}, \dots, v__{n})$ 는 $V$ 의 벡터다.

만약 복소 벡터 공간 $V$ 라면 다음과 같이 정의된다.

여기서 $\overline{ū}$ 는 u의 켤레 복소수를 나타낸다.

내적의 네 가지 공리 (Four Axioms)

내적은 다음 네 가지 공리를 만족해야 한다.

대칭성(Symmetry): 모든 $u, v \in V$ 에 대해 $⟨ u, v ⟩ = ⟨ v, u ⟩$ (복소수의 경우, $⟨ u, v ⟩ = \overline{⟨ v,u ⟩의 켤례복소수}$ )
선형성(Linearity): 모든 $u, v, w \in V$ 와 스칼라 $k$ 에 대해 $⟨ u + v, w ⟩ = ⟨ u, w ⟩ + ⟨ v, w ⟩$
동차성(Homogeneity): 모든 $u, v \in V$ 와 스칼라 $k$ 에 대해 $⟨ k u, v ⟩ = k ⟨ u, v ⟩$
양의 정부호성(Positive Definiteness): 모든 $v \in V$ 에 대해 $⟨ v, v ⟩ \geq 0$ , 그리고 $⟨ v, v ⟩ = 0$ 인 경우는 $v = 0$ 일 때

가중 유클리드 내적(Weighted Euclidean Inner Product)

$R^^{n}$ 공간에서, 각 성분에 가중치를 부여하여 내적을 정의할 수도 있다. 즉, 양수 가중치 벡터 $w = (w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n})$ 에 대해 가중 유클리드 내적은 다음과 같이 정의된다.

행렬에 의해 생성된 내적 (Inner Product on R^n Generated by A)

$n$ 차원 유클리드 공간 $R^{n}$ 에서, $n \times n$ 가역행렬(invertible matrix) $A$ 에 의해 생성된 내적은 다음과 같이 정의된다.

마무리

이번 포스팅에서는 내적 공간과 내적의 개념, 그리고 다양한 종류의 내적에 대해 알아보았다. 내적은 벡터 공간에서 벡터 간의 관계를 이해하고 분석하는 데 중요한 도구이니 기본을 다져놓는 것이 중요하다. 특히, 가중 유클리드 내적과 행렬에 의해 생성된 내적은 일반적인 유클리드 내적을 확장하여 다양한 상황에 적용 가능하므로 공부할 필요성을 느꼈다.

앞으로 내적 공간을 공부하면서 직교성, 투영, 최소제곱법 등 더욱 흥미로운 개념들을 만나게 될 것이니 내적의 개념을 탄탄히 다져야겠다.

추천글 : 수포자, 수학이 막연한 분들을 위한 수학 완벽정리(feat. 수학 잘하는 법)(https://hyeonb.blogspot.com/2023/02/essential%20Math.html)