복소 행렬(Complex Matrix) 입문
오늘은 선형대수학의 흥미로운 주제 중 하나인 복소 행렬(Complex Matrix)에 대해 알아보려 한다. 복소 행렬은 복소수를 원소로 가지는 행렬로, 실수 행렬을 확장한 개념이다. 복소 행렬은 양자역학, 신호 처리, 제어 이론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
복소 행렬 (Complex Matrix)
Complex Matrix는 복소수를 원소로 가지는 행렬이다. 실수 행렬과 마찬가지로, 복소 행렬도 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 스칼라 곱셈 등의 연산을 수행할 수 있다(내적을 다룬 적 있다). 복소 행렬은 복소 벡터 공간 사이의 선형 변환을 나타내는 데 사용되며, 많은 물리적 현상을 모델링하는 데 중요하다.
Hermitian Matrix (에르미트 행렬)
Hermitian Matrix는 복소 행렬의 특별한 형태로, 자신의 켤레 전치(conjugate transpose)와 같은 행렬이다. 즉, 행렬 가 Hermitian이라면, 를 만족한다. 여기서 는 의 켤레 전치 행렬을 나타낸다.
Hermitian Matrix는 다음과 같은 중요한 특징을 갖는다.
- 모든 고유값(eigenvalue)은 실수
- 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터(eigenvector)들은 서로 직교(orthogonal)
Hermitian Matrix는 양자역학에서 관측 가능한 물리량을 나타내는 연산자(operator)로 사용된다. 예를 들어, 에너지, 운동량, 위치 등의 물리량은 Hermitian Matrix로 표현될 수 있다.
Unitary Matrix (유니터리 행렬)
Unitary Matrix는 복소 행렬의 또 다른 특별한 형태로, 자신의 켤레 전치 행렬이 역행렬(inverse matrix)과 같은 행렬이다. 즉, 행렬 가 Unitary Matrix이라면, 를 만족한다. 여기서 는 단위 행렬(identity matrix)이다.
Unitary Matrix는 다음과 같은 중요한 특징을 갖는다.
- 내적(inner product)을 보존. 즉, 다.
- norm을 보존. 즉, 다.
- 모든 고유값의 크기는 1
Unitary Matrix는 양자역학에서 시간에 따른 양자 상태의 변화를 나타내는 연산자로 사용된다.
실수와 복소수의 관계
복소 행렬은 실수 행렬의 일반화된 형태이며, 실수 행렬은 복소 행렬의 특별한 경우라고 볼 수 있다. 따라서 실수 행렬에 적용되는 많은 개념과 성질들이 복소 행렬에도 적용될 수 있다.
- Transpose and Hermitian: 실수 행렬의 전치 행렬(transpose)은 복소 행렬의 켤레 전치 행렬(Hermitian)에 대응된다.
- Orthogonal Matrix and Unitary Matrix: 실수 행렬의 직교 행렬(orthogonal matrix)은 복소 행렬의 유니터리 행렬(unitary matrix)에 대응된다.
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| Real number vs Complex number |
Schur Decomposition (슈어 분해)
Schur Decomposition은 복소 행렬을 유니터리 행렬과 상삼각 행렬(upper triangular matrix)의 곱으로 분해하는 방법이다. 즉, 모든 복소 정사각 행렬 에 대해 다음을 만족하는 유니터리 행렬 와 상삼각 행렬 가 존재한다.
U^HAU = T
여기서 의 대각 성분은 의 고유값이다. Schur Decomposition은 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산하거나, 행렬의 거듭제곱을 계산하는 데 유용하게 사용될 수 있다.
예제
다음 행렬 A에 대해 Schur Decomposition을 구해 보자.
A = |2 -1|
|1 0|
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| 풀이 과정 |
마무리하며
이번 포스팅에서는 복소 행렬의 기본 개념과 Hermitian Matrix, Unitary Matrix, Schur Decomposition에 대해 알아보았다. 복소 행렬은 선형대수학에서 중요한 개념이며, 다양한 분야에서 활용되는 만큼 다음 포스팅에서 다룰 Spectral Decomposition에 대한 이해를 돕기 위한 기초가 된다.
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