고유값과 고유벡터
오늘은 선형대수학의 핵심 개념 중 하나인 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)에 대해 알아보려고 한다. 마치 마법처럼 선형 변환의 본질을 드러내는 이 개념들은 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 분야에서 활용된다. 선형 변환의 핵심인 고유값과 고유벡터에 대해 알아보자.
고유값과 고유벡터
고유벡터(eigenvector)는 선형 변환 과정에서 방향이 변하지 않고 크기만 변하는 특별한 벡터이다. 마치 선형 변환이라는 거울에 비춰졌을 때, 자신의 모습을 그대로 유지하는 특별한 존재라고 할 수 있다. 이때, 변화하는 크기의 배율을 고유값(eigenvalue)이라고 한다.
수식으로 표현하면, 행렬 에 대해 다음을 만족하는 0이 아닌 벡터 와 스칼라 가 존재할 때,
Ax = λx
벡터 를 고유벡터, 스칼라 를 고유값이라고 한다. 즉, 고유벡터는 선형 변환 에 의해 변환된 후에도 방향이 변하지 않고, 고유값은 그 변환의 크기를 나타내는 값이다.
고유값과 고유벡터 찾기
고유값과 고유벡터를 찾기 위해서는 특성 방정식(characteristic equation)을 풀어야 한다. 특성 방정식은 다음과 같이 정의된다.
det(A - λI) = 0여기서 는 단위 행렬(identity matrix)다. 이 방정식의 해가 바로 행렬 의 고유값이 된다. 그리고 각 고유값에 대응하는 고유벡터는 의 해로 구할 수 있다.
특별한 행렬들의 고유값과 고유벡터
1. 대각 행렬 (Diagonal Matrix)
대각 행렬의 고유값은 대각 성분 그 자체이며, 각 고유값에 대응하는 고유벡터는 해당 대각 성분 위치에 1을 갖 나머지 성분은 0인 벡터이다. 예를 들어, 다음 대각 행렬 의 고유값과 고유벡터는 다음과 같다.
A = |3 0 0|
|0 2 0|
|0 0 1|
- 고유값: , ,
- 고유벡터: , ,
2. 투영 행렬 (Projection Matrix)
투영 행렬 는 어떤 벡터를 특정 부분 공간에 투영하는 선형 변환을 나타낸다. 투영 행렬의 고유값은 0 또는 1이며, 각 고유값에 대응하는 고유벡터는 투영되는 부분 공간 또는 그 직교 여공간에 속한다.
예를 들어, 다음 투영 행렬 의 고유값과 고유벡터는 다음과 같다.
P = 1/2 |1 1|
|1 1|
- 고유값: ,
- 고유벡터: ,
예제 문제
다음 행렬 의 고유값과 고유벡터를 구해 보자.
A = |2 1|
|1 2|
특성 방정식:
det(A - λI) = |2-λ 1| |1 2-λ| = (2-λ)^2 - 1 = 0고유값: 특성 방정식을 풀면, , 을 얻는다.
고유벡터: 각 고유값에 대응하는 고유벡터를 구한다.
- : 을 풀면, 다.
- : 을 풀면, 다.
따라서 행렬 의 고유값과 고유벡터는 다음과 같다.
- 고유값: ,
- 고유벡터: ,
마무리하며
이번 포스팅에서는 고유값과 고유벡터의 개념, 특성 방정식, 그리고 특별한 행렬들의 고유값과 고유벡터에 대해 알아보았다. 기본적인 부분에 대해 배웠으니, 다음 포스팅에서는 행렬의 대각화(diagonalization)에 대해 알아보겠다. 대각화는 고유값과 고유벡터를 이용하여 복잡한 행렬을 간단한 형태로 변환하는 방법으로, 선형대수학의 꽃이라고 할 수 있다.
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